Exercices admissibilité CRPE semaine du 10 au 16 janvier

Comme ça

Exo1. Il faut 940 caractères, les chiffres les plus utilisés sont le 1 et 2 / les- st de 4 à 9 avec 0 (pas sur la!)
Exo2. 1. 132 b6= 56 (b6--> base 6!), ce n'est pas un miultiple de 6 mais un multiple de 2 (56-->2 * 28)
2. 324 b6= 124 / 222 b6 = 84 / 550 b6 = 210 , ce st des nb pairs dc mutiples de 2, seuls 84 et 210 st multiples de 6
3. abc b6 = si c=0 -> 2(3b+12a) /si c=2-> 2(6a+3b+1) / si c= 4 -> 2 (6a+3b+2) DC Multiple de 2
Multiple de 6 si c=0 ou 6 --> 1e cas: 6 (2a+b) 2e cas: 6 (6a+b+1)
4. Si nb est base 6 est pair, c divisible par 2
pour le theroeme de divisibité par 6, je ne sais pas !
5. 325 b6=125 / 212 b6=80 / 215 b6 = 215 dc se termine par 0 ou 5 dc Mul^tiple de 5
b/ si la somme des chiffres de la base 6 est multiple de 5, alors le nb entier est multiple de 5

Voila pour ma contribution, j'avoue que j'ai été assez vite car pas trop le temps dc a voir !

il y a753 +180+9=942 pages
les chiffres les plus utilisés sont le 1 et le 2 et les moins utilisés les 7,8,9

Spoiler:

page 1 à 9: 9 chiffres imprimés
page 10 à 99: 99 -9 = 90 nombres de 2 chiffres, soit 180 chiffres imprimés
pages 100 à 350: 350 - 99 = 251 nombres de 3 chiffres, soit 753 chiffres imprimés

Soit 942 chiffres imprimés (9+180+753)

Les chiffres les moins utilisés: 0, 6, 7, 8, 9.

1) 1x6² + 3x6 + 2 = 56 > multiple de 2

2) 3x6² + 2x6 + 4 = 124 (multiple de 2)
2x6² + 2x6 + 2 = 86 (multiple de 2)
5x6² + 5x6 = 210 (multiple de 2 et 6)

3) 36a + 6b + c = 2 (18a + 3b) + c > multiple de 2 si c multiple de 2
36a + 12b + c = 6 (6a + 2b) + c > multiple de 6 si c multiple de 6, si c=0 ou c=6

4) Un nombre entier est divisible par 6 si et seulement si son écriture en base 6 se termine par 0 ou 6.
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son écriture en base 6 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

5) a. 3x6² + 2x6 + 5 = 125 (multiple de 5) ;
2x6² + 1x6 + 2 = 80 (multiple de 5) ;
5x6² + 5x6 + 5 = 185 (multiple de 5)

b. Un nombre entier (composé de 3 chiffres en base 6) est divisible par 5 si et seulement si la somme des chiffres de son écriture en base 6 est divisible par 5.

1°) Combien faut-il au total de caractères pour numéroter toutes les pages d'un livre de 350 pages ?
- de 1 à 9 : ils sont utilisés une fois chacun
- de 10 à 99 : 99-10+1 = 90 chiffres de 2 caractères, donc 180 caractères
- de 100 à 350 : on a 350-100+1 = 251 chiffres de 3 caractères, donc 753 caractères

Il faut au total 942 caractères pour numéroter toutes les pages d'un livre de 350 pages.

2°) Quels seront les chiffres les plus et les moins utilisés ?

1 et 2 sont les plus utilisés (158 fois) ; 0 est utilisé le moins souvent (65 fois) [puis dans l'ordre décroissant 3 (90 fois) ; 4 et 5 (77 fois) ; 6/7/8/9 (67 fois)]

0 est utilisé au total 65 fois :
- en position d'unité dans un chiffre à 2 caractères (10, 20...) donc 9 fois
- en position d'unité dans un chiffre à 3 caractères (110, 120...) donc 10 fois quand le chiffre des centaines est "1" + 10 fois quand le chiffre des centaines est "2" + 6 fois quand le chiffre des centaines est "3"
- en position de dizaine dans un chiffre à 3 caractères (de 100 à 109...) 10 fois par centaine, donc 30 fois

Les chiffres 1 à 9 :

- de 1 à 9, ils sont utilisés 1 fois chacun
- de 10 à 99, ils sont utilisés 9 fois comme unité et 10 fois comme dizaine
- de 100 à 199, ils sont utilisé 9 fois comme unité, 10 fois comme dizaine et 1 est utilisé 100 fois comme chiffre des centaines
- de 200 à 299, ils sont utilisé 9 fois comme unité, 10 fois comme dizaine et 2 est utilisé 100 fois comme chiffre des centaines

- de 300 à 350, ils sont utilisé 9 fois comme unité, seuls 1/2/3/4/5 sont utilisés 10 fois comme dizaine et 3 est utilisé 50 fois comme chiffre des centaines

1/
- Quel nombre entier est représenté par 132 base 6 ?
132 (base 6) = 1x6² + 3x6¹ + 2x6⁰ = 56

- Ce nombre est-il multiple de 6 ?
56=6x9+2, dans la division a=bxq+r, a est multiple de b si r est différent de 0 ; or ici r=2
Ce nombre n'est pas multiple de 6.

- Est-il multiple de 2 ?
56=2x28 avec r=0
Ce nombre est multiple de 2.

2/
- Montrer que 324 (base 6) 222 (base 6) 550 (base 6) sont multiples de 2.
324 (base 6)= 3x6²+2x6¹+4x6⁰= 124= 2x62 avec r=0, c'est un multiple de 2.
222 (base 6)= 2x6²+2x6¹+2x6⁰= 86= 2x43, avec r=0, c'est un multiple de 2.
550 (base 6)= 5x6²+5x6¹+5x6⁰= 210 = 2x105 avec r=0, c'est un multiple de 2.

- Sont-ils multiples de 6 ?
124= 6x20+4, avec r différent de 0 ce n'est pas un multiple de 6.
86= 6x14+2, avec r différent de 0 ce n'est pas un multiple de 6.
210= 6x35, avec r égal à 0 c'est un multiple de 6.

3/
- Montrer que abc (base 6) est multiple de 2 si c = 0 ou c = 2 ou c = 4.

--> si c=0 abc (base 6) = ax6²+bx6¹+cx6⁰ = 36a+6b+0x6⁰ = 2(18a+3b)
si c=0 abc (base 6) est divisible par 2
--> si c=2 abc (base 6) = ax6²+bx6¹+cx6⁰ = 36a+6b+12+2x6⁰ = 2(18a+3b+1)
si c=2 abc (base 6) est divisible par 2
--> si c=4 abc (base 6) = ax6²+bx6¹+cx6⁰ = 36a+6b+4x6⁰ = 2(18a+3b+2)
si c=4 abc (base 6) est divisible par 2

- A quelle condition est-il multiple de 6 ?
Il semble que abc (base 6) est multiple de 6 quand le deuxième terme du produit est multiple de 3
quand c=0 18+3=21, la somme 3+1 (critère de divisibilité par 3) est multiple de 3 (3=3x1)
quand c=2 18+3+1=22, la somme 2+2 = 4 n'est pas multiple de 3
quand c=4 18+3+2=23, la somme 2+3 n'est pas multiple de 3

4. Énoncer les théorèmes de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l’écriture en base six d’un nombre.
Un nombre en base 6 est divisible par 2 si son chiffre des unités, c, est un nombre pair (0, 2, 4)
Un nombre en base 6 est divisible par 6 si la somme 18a+3b+Xc est multiple de 3.

5. Je sèche ! J'ai les résultats mais pas le critère (si c = 0 ou 5, ou si la somme a+b+c est multiple de 5 ?)

1° De la page 1 à 9 = 9 caractères
De la page 10 à 99 = 99 pages – 9 premières pages déjà comptées = 90 pages de 2 chiffres = 180 caractères
De la page 100 à 350 = 350 pages – 99 pages déjà comptées = 251 pages de 3 chiffres = 753 caractères

Donc au total nous avons 9 + 180 + 753 = 942 caractères

2°


De 10 à 99 :
- 10 dont le début de la dizaine commence par le chiffre (ex : pour 1 : 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19)
- 9 fois en chiffre des unités (ex : pour 1 : 11 21 31 41 51 61 71 81 91)
- cas du 0 : dans chaque dizaine 1 fois (10 20 30 40 50 60 70 80 90)

De 100 à 199 :
- 199 – 99 = 100 fois 1 en chiffre des centaines
- pour le reste on part sur la même base que de 1 à 99 donc 20 pour chaque chiffre et 9 pour 0
- le cas des nombres de 100 à 109 = 11 pour 0

De 200 à 199 :
- 299 – 199 = 100 fois 2 en chiffre des centaines
- pour le reste on part sur la même base que de 1 à 99 donc 20 pour chaque chiffre et 9 pour 0
- le cas des nombres de 200 à 209 = 11 pour 0

De 300 à 350
- 350-299 = 51 fois 3 en chiffre des centaines
- le cas des nombres de 300 à 309 = 11 pour 0
- de 300 à 350 : nous aurons 10 pour chaque dizaine jusqu’à 4 et 1 pour 5
- de 300 à 350 : nous aurons 5 fois chaque chiffre en unité
- cas du 0 : dans chaque dizaine 1 fois (310 320 330 340 350)

Donc les chiffres les plus utilisés sont : 1 et 2
Les chiffres les moins utilisés sont : 6 7 8 9 et 0

1)132 en base 6 correspond à 56,il n'est pas multiple de 6 mais est multiple de 2
2)Les chiffres des unités des nbrs 324,222,550 en base 6 sont 0,2,4 donc divisible par 2(ce sont des nbres pairs) Seul 550 en base 6 est divisible par 6:550 en base 6=210 donc divisible par 2 et par 3 (critère de divisibilité par 6)
3)abc en base 6 est multiple de 2 si c=0 ou c=2 ou c=4 car 0*6 puiss0 =0; 2*6 puiss0=2 ; 4*6 puiss 0= 4 (critère de divisibilité par 2)
Il est multiple de 6 si c=0
4)abc en base 6 est divisible par 2 si c=0 ou c=2 ou c=4
abc en base 6 est divisible par 6 si c=o
5)325 en base 6 = 125 il est donc divisible par 5 car son chiffre des unités est 5
212 en base 6=80 divisible par 5 car son chiffre des unités est = 0
555 en base 6 =215 donc divisible par 5 car son chiffre des unités =5
Un nombre abc en base 6 est divisible par 5 si quand on additionne abc, c=0 ou c=5

1° 132 base 6= 1 * 6^2 + 3 * 6^1 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56

56 = 7 * 2 * 2 * 2
Donc c’est un multiple de 2 mais pas de 6.

2° 324 base 6 = 3*6^2 + 2*6^1 + 4 = 108 + 12 + 4 = 124
222 base 6 = 2*6^2 + 2*6^1 + 2 = 72 + 12 + 2 = 86
550 base 6 = 5*6^2 + 5*6^1 + 0 = 180 + 30 + 0 = 210

124 = 2 * 2 * 31
86 = 2 * 43
210 = 2 * 5 * 3 * 7

124 est multiple de 2 mais pas de 6
86 est multiple de 2 mais pas de 6
210 est multiple de 2 mais et de 6 (2*3)

3° Si c= 0 ou c=2 ou c=4 alors abc base 6 est multiple de 2 car le nombre sera forcément divisible par 2.
Abc en base 6 est un multiple de 6, si c est un multiple de 6.

4° sait pas

5°
a)325 base 6 = 3*6^2 + 2*6^1 + 5 = 125
212 base 6 = 2*6^2 + 1*6^1 + 2 = 80
555 base 6 = 5*6^2 + 5*6^1 + 5 = 215

125= 5 * 5 * 5
80 = 5 * 2 * 2 * 2 *2
215 = 5 * 43

Les 3 sont donc bien multiple de 5.

b) sait pas

question 1 : j'ai découpé en plusieurs tranches :
1 à 9 : 9 caractères

10 à 19 : 20 caractères, de même de 10 en 10 jusqu'à 99 soit
de 10 à 99 : 9 * 20

de 100 à 109 : 30 caractères, idem de 10 en 10 jusqu'à 349
de 100 à 349 : 25 * 30
et 3 caractères de plus pour 350 (et non pas 1 comme j'avais mis au début par inattention )
Soit 9 + 180 + 750+3 = 942 caractères

question 2 : j'ai fait un tableau, dans les colonnes les chiffres de 0 à 9, dans les lignes des tranches comme ci-dessus, un peu + découpée. Ce tableau m'a permis de confirmer ma réponse du dessus au passage, mais j'aurai du le faire directement...
Et donc je trouve à la fin que les chiffres les moins utilisés sont 0,6,7,8 et 9 avec 65 utilisations.

1- 132 en base 6 = 1*6^2 + 3*6^1 + 2*6^0 = 56 qui est multiple de 2 (28*2) mais pas de 6 (on obtient un reste dans la division euclidienne de 56 par 6)

2- par le même procédé
324 en base 6 = 124, multiple de 2 mais pas de 6
222 en base 6 = 86,multiple de 2 mais pas de 6
550 en base 6 = 210, multiple de 6 et de 2

3- abc en base 6 = a*6^2 + b*6^1 + c*6^0 = 36a + 6b + c = 2 (18a+3b)
36 et 6 dans multiple de 2, donc 36a+6b est multiple de 2. Pour que 36a+6b+c soit multiple de 2 ou = 0 il faut donc que c soit aussi multiple de 2.
Comme on est en base 6 a<6, b<6 et c<6, on a donc c=0 ou c=2 ou c=4.

De même 36a+6b est multiple de 6 (36a+6b = 6(6a+b) ). Il faut donc que c soit multiple de 6 ou = 0. Or c < 6 donc on ne peut avoir que c = 0.

4-
Si un nombre est multiple de k avec il est dit divisible par k.
D'après le 3- on a donc :
un nombre abc en base 6 est divisible par 2 si c=0 ou c=2 ou c=4.
un nombre abc en base 6 est divisible par 6 si c=0.

5-a- 325 en base 6 = 125 multiple de 5
212 en base 6 = 80 multiple de 5
555 en base 6 = 215 multiple de 5

5-b Pour que abc en base 6 soit multiple de 5 il faut 36a+6b+c = 5k avec a<=5, b<=5 et c <=5.

36a+6b+c = 5k <=> 35a+a+5b+b+c = 5k
Or 35 et 5 sont multiple de 5, il nous faut donc a+b+c = 5k.

Pour que abc en base 6 soit multiple de 5 il faut que la somme a+b+c soit multiple de 5.

Exercice 1 :

Il y a 9-1 = 8 + 1 = 9 caractères de 1 à 9
Il y a 99-10 = 89 + 1 = 90 nombres à 2 caractères de 10 à 99, soit 180 caractères utilisés
Il y a 350-100 = 250 + 1 = 251 nombres à 3 caractères de 100 à 350, soit 750 caractères utilisés.

Pour numéroter un livre de la page 1 à 350 nous utilisons donc 9 + 180 + 753 = 942 caractères.

Les caractères les plus utilisés sont le 1 et le 2. Les moins utilisés le 6, 7, 8, 9 et 0 (détail sur ma feuille pour les calculs !!).


Exercice 2

1/
132 base 6 = 56, pour être un multiple de 6, un nombre doit être multiple de 3 (somme de ses chiffres est multiple de 3) et un multiple de 2 (le chiffre des unités est un chiffre pair). En l’espère 5+6 = 11 donc 56 n’est pas un multiple de 3 donc par conséquent par un multiple de 6. En revanche le chiffre des unités est 6 donc 56 est un multiple de 2.

2/
324 en base 6 = 130 qui n’est pas un multiple de 3 donc pas un multiple de 6, mais multiple de 2

222 en base 6 = 86 qui n’est pas un multiple de 3 donc pas un multiple de 6, mais multiple de 2.

550 en base 6 = 210 qui est un multiple de 3 et un multiple de 2, donc un multiple de 6.

3/

En base 6, a, b et c sont nécessairement < 6.
Abc en base 6 = 36a + 6b + c = 6(6a+b) + c. Pour être un multiple de 2 l’égalité précédente doit donner pour résultat un nombre dont le chiffre des unités est pair.
6(6a+b) est nécessairement pair donc c doit être pair ou nul pour que la somme soit un nombre pair et comme c<6, on doit avoir c=0 ou c=2 ou c=4 pour que abc en base 6 soit un nombre pair donc un multiple de 2.

Pour que abc en base 6 soit un multiple de 6 alors 6(6a+b) + c doit être un multiple de 6. Or c<6 donc c doit être nul puisque 6(6a+b) est nécessairement un multiple de 6.

4/
Aucune idée !

5/
325 en base 6 = 125 dans le système décimal. Pour être un multiple de 5 un nombre doit avoir son chiffre des unités égal à 0 ou à 5. Donc 325 en base 6 est bien multiple de 5.

212 en base 6 = 80, c’est donc bien un multiple de 5.

555 en base 6 = 215, c’est dont bien un multiple de 5.

Pour être un multiple de 5 un nombre abc en base 6 doit avoir 6(6a+b)+c multiple de 5 et comme c<6 et 6(6a+b) multiple de 6 et donc de 3 et de 2, il faut c=5 ou c=2 pour que abc en base 6 soit un multiple de 5.