Corrigé DM 6
Exercice 1
1-Nous appellerons D le dividende, d le diviseur, q le quotient et r le reste.
Soit dans la division euclidienne, l’égalité suivante :
D = d × q + r avec 0 < r < d
On a : d = 83 et q = 403.
Donc D = 83 × 403 + r
Pour r = 0 on a D = 33449
On sait que 0 < r < 83
r = 0 ; 1 ; 2 ; …… 82
D est minimal pour r = 0
Dmin = 83 x 403 + 0 = 33 449
D est maximal pour r = 82
Dmax = 83 x 403 + 82 = 33532
Donc D = 33449 ; 33450 ; 33451 ; ….. ; 33532.
2-La division euclidienne de 8592 par 38 nous donne :
8592 = 38d + r avec 38d < 8592 < 39d
On en déduit que : d < 8592/38 et d > 8592/39
C’est-à-dire : 220 < d < 226
Donc d = 221 ; 222 ; 223 ; 224 ; 225 ; 226
Il y a donc 6 couples (d ; r) solutions du problème
Exercice 2
Etape 1 :
Nous cherchons, un nombre composé de trois chiffres, et dont le quotient de la division euclidienne par 21 est 33.
Soit D le dividende, d le diviseur, q le quotient, et r le reste de la division.,
D= d x q + r avec r < d
D = 21 x 33 + r
D = 693 + r avec r = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 20
Il y a donc 21 solutions au problème.
D = 693 ; 694 ; … ; 713
Etape 2 :
D est un multiple de 9. Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible 9.
Pour 693, nous avons 6 + 9 + 3 = 18.
18 multiple de 9 donc 693 est une solution.
Il suffit ensuite de compter de 9 en 9 sans dépasser 713 pour trouver les autres nombres solutions multiples de 9 :
693 + 9 = 702
702 + 9 = 711
Nous avons donc pour D trois valeurs possibles : 693 ; 702 ; 711.
Exercice 3
1-L'associé de 768 492 est 7 684 902.
2-L'entier 2005 est l'associé du nombre 205.
3-Rappelons que le critère de divisibilité d'un nombre par 9 réside dans le fait que la somme des chiffres composant le nombre en question est divisible par 9.
Or, 0 est l’élément neutre de l’addition Donc, si un entier n est divisible par 9, alors son associé l'est aussi.
4-Si l'associé d'un entier est divisible par 9, alors n l'est également.
5-La réciproque est vraie pour les mêmes raisons que celles exposées dans 3)
Pour que l'associé d'un nombre n soit divisible par 4, il faut et il suffit que n se termine soit par le chiffre 4, soit par le chiffre 8.
Faisons une démonstration pour n se terminant par 4 (la démonstration est identique pour n se terminant par
Soit ap ;ap-1 … ;a1 ;4 la suite des chiffres composant le nombre n en base 10.
On note ñ l’associé du nombre n.
On peut écrire ñ = ap 10p+1 + ap-1 10p + …. + a110² + 0 + 4
Or tous les 10k pour k=2 ; 3 ;…. ;p+1 contiennent 10² qui peut s’écrire 4 x 25
Donc le facteur 4 apparait dans chacun des termes de la décomposition décimale de n
Donc 4 peut être mis en facteur dans la décomposition
Donc ñ divisible est par 4.
6-Considérons un nombre n à trois chiffres (la démonstration est analogue pour un nombre contenant plus de 3 chiffres).
On a le chiffre des centaines ; b le chiffre des dizaines et c le chiffre des unités.
Si c < 5 :
n = 100 a + 10 b + c
n = 5 (20 a + 2 b) + c
ñ = 1000 a + 100 b + 0 + c
ñ = 5 (200 a + 20 b + 0) + c
Dans ce cas les restes de la division euclidienne de n et de ñ par 5 sont tous les deux égaux à c.
Si c > 5 :
On peut écrire c = 5 + r (avec 1 ≤ r < 5) :
n = 100 a + 10 b + c
n = 100 a + 10 b + 5 + r
n = 5 (20 a + 2 b + 1) + r
ñ = 1000 a + 100 b + 0 + c
ñ = 1000 a + 100 b + 0 + 5 + r
ñ = 5 (200 a + 20 b + 0 + 1) + r
Les restes de la division euclidienne de n et de ñ par 5 sont égaux à r.
Si c = 5 :
Alors n et ñ sont divisibles par 5 et les restes de la division euclidienne de n et ñ par 5 sont tous les deux égaux à 0.
Exercice 4
Les diviseurs de 476 sont :
1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 17 ; 28 ; 34 ; 119 ; 238 ; 476.
On obtient 6 décompositions possibles en produit de deux facteurs de 476.
1 x 476 ; 2 x 238 ; 4 x 119 ; 7 x 68 ; 14 x 34 ; 17 x 28
Il y a donc 6 rectangles possibles.
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