Trigonométrie

Petit point trigonométrie :

le cosinus



Dans un triangle rectangle :
* le côté adjacent à un angle est le côté « en commun » avec l’angle, et qui n’est pas l’hypoténuse,
* le côté opposé à un angle est le côté « situé en face de l’angle ».

Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’un des angles aigus est le rapport : longueur du côté adjacent à l 'angle aigu / longueur de l'hypoténuse
Le cosinus de l’angle aigu  se note cos  . On a : cos  = AB/AC
Le cosinus de l’angle aigu ^C se note cos ^C . On a : cos ^C = BC/AC

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long, le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.
Le cosinus est un outil qui permet de calculer des angles et des longueurs. Attention ! le cosinus est un rapport de longueurs, il ne se représente pas sur une figure et n’a pas d’unité.

Utilité :

Je calcule une longueur en utilisant le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle :

ABC est un triangle rectangle en A
cos ^ABC = AB/BC
cos 30° = 5/BC
BC = 5cos30°
BC ≈ 5,77 cm



Je calcule la mesure de l’angle aigu^ACB d’un triangle rectangle :

ABC est un triangle rectangle en A
cos ^ACB = AC/BC
cos ^ACB = 4/5
^ACB ≈ 37° (utiliser la calculatrice)

Dans un triangle rectangle, les rapports AB/AC BC/AC et BC/AB
ne dépendent que de la mesure de l’angle  .

AB/AC = longueur du côté adjacent à l'angle  / longueur de l'hypoténuse
= cosinus Â
BC/AC = longueur du côté opposé à l'angle  / longueur de l'hypoténuse
= sinus Â
BC/AB = longueur du côté opposé à l'angle  / longueur du côté adjacent à l'angle Â
= tangente de Â

Le mot « SOHCAHTOA » permet de retenir les formules précédentes :
« SOH » le Sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à la longueur du côté Opposé divisée par la longueur de l’Hypoténuse
« CAH » le Cosiinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à la longueur du côté Adjacent divisée par la longueur de l’Hypoténuse
« TOA » la Tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à la longueur du côté Adjacent divisée par la longueur du Côté opposé à l'angle Â

Exemples :

Sinus pour déterminer une longueur : Déterminer TR en cm



Le triangle RST est rectangle en R.
L’hypoténuse est connue et je cherche la longueur du côté opposé à ^S donc je pense à utiliser sin ^S : sin ^S = TR/TS
Je remplace dans l’égalité trouvée ce que je connais, puis je cherche à déterminer TR : sin 37° = TR/8
--> TR = 8 sin 37° --> calculatrice : TR ≈ 4,8 cm (arrondi au millimètre)

Sinus pour déterminer un angle



Le triangle RST est rectangle en R.
Je remarque que l’hypoténuse et le côté opposé à ^S sont connus, donc je peux déterminer sin ^S : sin ^S = TR/TS
Je remplace dans l’expression trouvée ce que je connais : sin ^S = 5/7
calculatrice : ^S = ≈ 45,6°

Tout simplement génial!
Merci!

Au travail maintenant!!!

Pour le cosinus (niveau 4°) j'ai pris les informations ici :
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA41/AL4MA41TEWB0109-Sequence-07.pdf
+ les corrigés des exercices :
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA41/AL4MA41TEWB0109-Livret-corriges-Partie-02.pdf

Pour sinus et tangente (niveau 3°), c'est ici :
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA31/AL4MA31TEWB0109-Sequence-08.pdf
+ les corrigés des exercices :
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA31/AL4MA31TEWB0109-Livret-corriges-Partie-03.pdf

C'était un petit résumé illustré des propriétés, par contre ce qui est réalisé dans les liens, ce sont les exercices préliminaires qui "démontrent" les propriétés énoncées après, et les exercices d'application à plusieurs étoiles ; les corrigés sont souvent aussi très instructifs (pour mener une démonstration etc.)

Je n'ai pas encore regardé la tangente, ni l'utilisation dans la géométrie dans l'espace (la hauteur dans un cône de révolution par exemple), mais c'est sensiblement la même chose

J'ai trouvé pas mal le moyen mnémotechnique du Hatier (SOHCAHTOA)

sophiecrp a écrit:

J'ai trouvé pas mal le moyen mnémotechnique du Hatier (SOHCAHTOA)

SOHCAHTOA !!!! ça me rappelle mes cours de maths au collège !

Je me le remonte pour cette aprèm

Bravo miss!

J'ajouterais quelques petites choses.
ATTENTION aux calculatrices. Quand on cherche un angle en degré, vérifier dans le menu de la calculatrice que celle-ci est bien en degré et non pas en radian au risque de se tromper.

Pour la rédaction d'un exercice: quand on cherche la valeur d'un côté ou d'un angle, il est préférable de mener le calcul littéral à terme, c'est à dire qu'on écrit à gauche de l'égalité ce qu'on cherche et à droite ce qu'on connait ( uniquement avec des lettres et sans chiffres).

Par exemple, dans le premier exemple de Chamboulou, il faudrait écrire:
BC =AB/cos ^ABC donc
BC = 5/cos30° (tu as oublié le / dans ton expression )
d'où BC = 5.77 cm
L'intérêt est qu'on voit parfaitement le raisonnement et que même si on s'est trompé dans le calcul numérique on a des points pour le raisonnement rigoureux

Moi, côté mémotechnique, je préfère CAHSOHTOA, parce que vite dit ça fait "casse toi", et ça, c'et pas possible d'oublier.

Sinon, même remarque qu'Amély, et quelque soit le calcul, toujours mener à terme le calcul littéral avant de passer au numérique. Ca valide le raisonnement, évite les erreurs de calcul intérmédiaires et les approximations...

Amély si je suis ce que tu as dis, pour cet exercice la rédaction est ok ?



a. Calcule la mesure arrondie au degré de l'angle ^MNP.

tan ^MNP=MP/MN
tan ^MNP= 6,5/4,3
d'où ^MNP environ 33°

Je te fais grâce de la suite

chamboultou a écrit:

Amély si je suis ce que tu as dis, pour cet exercice la rédaction est ok ?



a. Calcule la mesure arrondie au degré de l'angle ^MNP.

tan ^MNP=MP/MN
tan ^MNP= 6,5/4,3
d'où ^MNP environ 33°

Je te fais grâce de la suite

En général, ça se corse dans la rédaction, si on demande par exemple de déterminer MP à partir de tan MNP

Oki ! Merci Je met un peu de temps à déterminer au brouillon les côtés opposés etc, et par quelle solution procéder, mais je pense que sur ma copie je ferai une phrase pour expliquer la démarche au correcteur !